По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников .
2.2. Пример выполнения задания № 2
Второе задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, F построить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF ;
2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки : построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.
Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).
Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:
1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC ; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;
2. Построить фронтальную проекцию 1 2 2 2 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC ;
3. Найти фронтальную проекцию М 2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1 2 2 2 с фронтальной проекцией E 2 F 2 прямой EF ;
4. Найти горизонтальную проекцию М 1 точки М с помощью линии проекционной связи;
5. Аналогично построить вторую точку N , принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС ; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF ; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N ;
6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.
Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками
Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2
Видеопример выполнения задания №2
2.3. Варианты задания 2
Таблица 2– Значения координат точек
| Вариант | Координаты (x, y, z) вершин треугольников | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | В | С | D | E | F | |
| 1 | 20; 65; 30 | 40; 15; 65 | 80; 30; 35 | 15; 35; 70 | 70; 75; 80 | 35; 0; 0 |
| 2 | 75; 75; 5 | 60; 20; 60 | 20; 10; 40 | 30; 55; 50 | 90; 50; 35 | 60; 5; 10 |
| 3 | 0; 30; 75 | 30; 65; 15 | 80; 25; 15 | 45; 65; 75 | 95; 40; 0 | 10; 0; 10 |
| 4 | 90; 5; 70 | 65; 60; 15 | 15; 15; 20 | 25; 45; 70 | 95; 60; 35 | 65; 10; 0 |
| 5 | 30; 0; 10 | 70; 15; 15 | 15; 55; 16 | 70; 55; 60 | 5; 30; 60 | 20; 0; 0 |
| 6 | 20; 25; 0 | 60; 5; 80 | 90; 75; 40 | 0; 60; 60 | 75; 80; 70 | 90; 10; 0 |
| 7 | 0; 60; 20 | 20; 10; 60 | 85; 10; 20 | 50; 70; 65 | 75; 35; 0 | 10; 0; 5 |
| 8 | 10; 20; 15 | 55; 70; 5 | 80; 20; 45 | 20; 60; 55 | 100; 35; 20 | 60; 10; 5 |
| 9 | 0; 50; 10 | 60; 70; 70 | 80; 10; 10 | 20; 10; 70 | 90; 50; 60 | 60; 85; 0 |
| 10 | 85; 70; 10 | 25; 20; 25 | 90; 10; 60 | 15; 70; 65 | 105; 10; 45 | 70; 0; 0 |
| 11 | 25; 5; 25 | 60; 60; 5 | 95; 20; 50 | 36; 45; 55 | 105; 45; 60 | 70; 0; 0 |
| 12 | 95; 30; 65 | 15; 15; 10 | 70; 80; 5 | 35; 70; 70 | 115; 80; 55 | 85; 20; 0 |
| 13 | 20; 5; 60 | 50; 60; 5 | 90; 15; 30 | 60; 60; 60 | 100; 5; 10 | 25; 10; 0 |
| 14 | 10; 5; 70 | 80; 20; 25 | 40; 65; 10 | 70; 70; 70 | 0; 35; 60 | 30; 5; 0 |
| 15 | 20; 45; 55 | 60; 70; 10 | 90; 10; 60 | 20; 0; 10 | 95; 20; 10 | 75; 60; 75 |
| 16 | 5; 10; 60 | 40; 65; 10 | 70; 5; 40 | 70; 50; 75 | 0; 70; 45 | 15; 0; 5 |
| 17 | 10; 45; 5 | 90; 5; 10 | 50; 70; 70 | 15; 5; 50 | 95; 15; 65 | 60; 70; 0 |
| 18 | 65; 20; 70 | 0; 20; 15 | 50; 70; 5 | 15; 60; 55 | 90; 60; 40 | 60; 5; 5 |
| 19 | 20; 20; 70 | 50; 50; 10 | 70; 10; 30 | 80; 60; 70 | 5; 40; 60 | 25; 0; 10 |
| 20 | 85; 10; 45 | 70; 50; 0 | 20; 20; 10 | 55; 60; 60 | 0; 0; 60 | 75; 0; 0 |
| 21 | 0; 70; 60 | 30; 10; 80 | 70; 15; 20 | 60; 50; 70 | 0; 0; 50 | 15; 70; 5 |
| 22 | 0; 70; 25 | 45; 10; 70 | 90; 30; 20 | 65; 60; 70 | 90; 10; 15 | 15; 0; 15 |
| 23 | 10; 20; 40 | 50; 60; 10 | 75; 10; 40 | 75; 60; 75 | 5; 70; 55 | 35; 0; 0 |
| 24 | 10; 10; 10 | 90; 80; 20 | 65;10;60 | 15; 70; 65 | 100; 70; 40 | 80; 10; 0 |
| 25 | 60; 65; 10 | 0; 10; 25 | 85; 5; 60 | 20; 65; 60 | 105; 35; 35 | 55; 0; 0 |
| 26 | 10; 70; 20 | 50; 10; 60 | 90; 25; 10 | 70; 65; 45 | 5; 35; 55 | 25; 0; 50 |
| 27 | 10; 5; 70 | 40; 70; 10 | 90; 5; 40 | 100; 55; 25 | 25; 65; 80 | 50; 0; 0 |
| 28 | 0; 50; 5 | 25; 0; 60 | 85; 10; 15 | 50; 50; 50 | 90; 0; 55 | 20; 0; 0 |
| 29 | 10; 70; 10 | 40; 10; 50 | 80; 20; 20 | 80; 55; 55 | 10; 50; 70 | 20; 0; 0 |
| 30 | 75; 70; 20 | 10; 35; 10 | 60; 20; 60 | 20; 70; 70 | 100; 60; 50 | 75; 5; 0 |
Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.
Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.
На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения K1K2 двух плоскостей Р и Q.
Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2, с плоскостью Q - по линии 3-4. В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка К1 двух плоскостей Р и Q - первая точка линии их пересечения.
Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.
Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.
В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т"п", тп линии пересечения MN фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника ABC.
На фронтальной проекции в пересечении проекций а"b" и а"с" со следом P v находим фронтальные проекции т" и п" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки т и п проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т"п") находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).
Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на
рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и b с сторон треугольника АВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции т и п точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"b" и b "с" строим фронтальные проекции т" и п" точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.
Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника ABC до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а"с"п"т"). Видимая часть фронтальной проекции треугольника DEF на чертеже оттенена.
Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т"п", тп линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а"b", b"с’, ab, bс двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d’e’, f"g", de, fg двух параллельных прямых.
В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами Rv и T v .
Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2, вторую - по прямой 3-4. По фронтальным проекциям 1", 2" и 3", 4" находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях аb, bс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку т - горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей - двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т" на фронтальном следе R v вспомогательной плоскости.
Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию ь параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция п второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе T v вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция п". Через построенные проекции т", п" и т, п проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.
Рисунок 1.3.25 – Пересечение двух плоскостей общего положения
Пример построения линии пересечения двух плоскостей способом секущих плоскостей посредников представлен на рисунке 1.3.25. Плоскость S определяется пересекающимися прямыми а и b , а плоскость Q – параллельными прямыми с и d .
Для нахождения линии l пересечения плоскостей S и Q проведём две фронтально проецирующие плоскости W (W 2 ) и W¢ (W¢ 2 ), являющиеся посредниками. Плоскость W пересекает данные плоскости S и Q по прямым линиям 1-2 (1 2 -2 2 , 1 1 -2 1 ) и 3-4 (3 2 -4 2 , 3 1 -4 1 ). Точку пересечения этих прямых обозначим через К (К 1 , К 2 ). Точка К принадлежит одновременно трём плоскостям S, Q, W. Следовательно, точка К S и Q. Плоскость W¢ пересекает плоскости S и Q по прямым линиям 5-6 (5 1 -6 1 , 5 2 -6 2 ) и 7-8 (7 1 -8 1 , 7 2 -8 2 ). Точкой пересечения этих линий является точка К¢ . Она, как и точка К принадлежит линии пересечения плоскостей S и Q . Следовательно, прямая l , проходящая через точки К и К¢ , есть искомая прямая пересечения данных плоскостей S и Q .
 |
Рисунок 1.3.26 – Пересечение двух плоскостей общего положения
На рисунке 1.3.26 представлен пример построения линии пересечения двух плоскостей способом пересечения прямой линии с плоскостью. Плоскости заданы треугольниками АВС и EGF . Вспомогательные секущие плоскости S (S 2 ) и S¢ (S 2 ) проведены через стороны EG и ВС треугольников. Плоскость S (S 2 ) пересекает треугольник АВС по прямой 1-2 . Точка К EG и 1-2 . Плоскость S¢ (S¢ 2 ) пересекает треугольник EGF по прямой 3-4 . Точка К¢ является результатом пересечения прямых ВС и 3-4 . Точки К и К¢ ограничивают отрезок искомой линии пересечения, находящийся в пределах обоих треугольников.
Относительная видимость треугольников определена на фронтальной проекции с помощью конкурирующих точек 2 и 4 , из которых точка 4 стороны EG закрывает собой точку 2 стороны ВС . Видимость на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью конкурирующих точек 5 и 6 , из которых точка 6 стороны EG закрывает собой точку 5 стороны АС .
Кривые линии
Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности.
Кривые линии могут быть образованы пересечением кривой поверхности плоскостью (в общем случае), взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой.
Законом образования кривой линии называется совокупность условий, определяющих эту линию. Точка, линия, поверхность перемещаются в пространстве, подчиняясь разным условиям. Плоскость может пересекать разнообразные кривые поверхности по самым различным направлениям. Взаимно пересекаться могут самые разнообразные поверхности при различном положении их относительно друг друга. Отсюда следует, что образование кривой линии может подчиняться бесчисленному множеству условий и может быть образовано бесчисленное множество кривых линий. Кроме того, одна и та же кривая линия может быть образована различными способами.
Например, эллипс может быть образован движением точки в плоскости, при котором в каждый данный момент сумма расстояний от этой точки до двух других неподвижных точек – фокусов эллипса – постоянна и равна большой оси эллипса. Но эллипс может быть образован и пересечением кругового цилиндра с плоскостью, расположенной произвольно по отношению к его оси или полным пересечением поверхностей двух круговых цилиндров одинакового диаметра.
Все кривые линии по положению их точек в пространстве делятся на два вида: плоские кривые – кривые, все точки которых лежат в одной плоскости (например, окружность, эллипс, парабола и т.д.) и пространственные кривые – кривые, точки которых не лежат в одной плоскости, например, винтовая линия
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра технической механики
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Учебнометодическое пособие к решению домашнего задания № 3
для бакалавров всех специальностей
Стерлитамак 2011
Перед работой с методическими указаниями бакалавр обязан изучить материал по рекомендуемой литературе
Составители Валитова Э.Г., ст.преподаватель
Рецензент Иванов С.П., доц., канд. техн. наук
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2011
Методические указания предназначены для бакалавров всех специальностей при изучении темы "Взаимное пересечение поверхностей" и выполнении домашнего графического задания по этой теме.
Перед работой с методическими указаниями бакалавр обязан изучить материал по рекомендуемой литературе.
1.1 Целью задания является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.
а) построить проекции линий пересечения заданных поверхностей способом плоскостейпосредников (формат A3);
б) построить проекции линий пересечения поверхностей способом сферических посредников (формат A3);
в) отметить характерные точки линий пересечения.
Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении.
2 МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
2.1 Произвести разметку (компоновку) формата, предусматривая рациональное использование поля чертежа.
2.2 Вычертить в тонких линиях карандашом исходные данные задачи, вспомогательные линии построения, найденную линию пересечения поверхностей.
2.3 Заполнить основную надпись (содержание и размеры приведены на рис.1)
Рис. 1. Основная надпись
2.4 Работа, выполненная в тонких линиях, должка быть представлена на проверку преподавателю.
2.5 После проверки произвести обводку чертежа, исходя из следующих требований:
2.5.1 Данные элементы выполняются черным цветом карандашом, тушью или пастой сплошной основной линией (S1 мм).
2.5.2 Линии проекционной связи и оси проекций выполняются черным цветом сплошной тонкой линией карандашом, тушью или пастой (S0,5 мм).
2.5.3 Линии вспомогательных построений, выполняются зеленым или синим цветом сплошной тонкой линией (S0,5 мм) также карандашом, тушью или пастой.
2.5.4 Искомые элементы выполняются сплошной основной линией красного цвета (карандаш, тушь, паста, фломастер,S1 мм),Sтолщина линии.
2.6 Представить работу для защиты. Защита работы фиксируется подписью преподавателя в графе «Принял» и сопровождается соответствующей оценкой, проставляемой в виде дроби: числитель оценка за глубину изучения темы, знаменательоценка за качество графического исполнения чертежа.
3 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Линия пересечения поверхностей это кривая, состоящая из точек, принадлежащих обеим поверхностям. Она представляет собой в общем случае пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми. Обычно линию пересечения строят по ее отдельным точкам.
Общим способом построения этих точек является способ поверхностей посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.
Наиболее часто в качестве поверхностейпосредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:
а) способ вспомогательных плоскостей;
б) способ вспомогательных сфер.
Применение того или иного способа построения линии пересечения поверхностей зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.
4 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
При нахождении точек линии пересечения поверхностей необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения различают точки опорные (характерные) и промежуточные (случайные). В первую очередь определяют опорные точки, т.к. они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где необходимо изменять положение вспомогательных поверхностейпосредников.
К опорным точкам относят точки, лежащие на очерках поверхностей, высшие и низшие точки, ближайшие к наблюдателю и наиболее удаленные от него, крайние левые и правые.
Способ вспомогательных плоскостей следует применять тогда, когда обе пересекающиеся поверхности возможно пересечь по графически простым линиям (окружностям или прямым) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей (или, в частном случае, совокупностью плоскостей уровня).
На рис. 2 показано построение линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра с конусом вращения. Опорные точки 1 и 2 определены при пересечении главных меридианов обеих поверхностей, находящихся в плоскости симметрии. Случайные точки 3, 3 1 4, 4 1 находят с помощью горизонтальных плоскостей уровняS 1 иS 2 , пересекающих обе поверхности по окружности. Фронтальная проекция линии пересечения строится по законам проекционной связи.
На рис. 3 построена линия пересечения конуса вращения со сферой. Опорные точки линии пересечения 1 и 2 определяются сразу, как и в предыдущем случае, при пересечении очерковых образующих (главных меридианов). Случайные точки 5, 5 1 находят с помощью горизонтальной плоскости уровняS 3 . Точки видимости 4 и 4 1 определяет плоскостьS 1 , пересекающая сферу по экватору. Точки 4 и 4 1 разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части. Для построения двух крайних левых точек 3 и 3 1 необходимо из точки 0 (0 / , 0) пересеченияосей конуса и шара опустить перпендикуляр на образующую конуса и через точку К / провести плоскостьS 2 .
В пересечении соответствующих окружностей получаются точки 3 и 3 1 крайние левые. Проведя ряд вспомогательных плоскостей, можно получить какое угодно количество случайных точек, уточняющих форму линии пересечения.
Рис. 2. Построение линии пересечения цилиндра и конуса
Рис. 3. Построение линии пересечения конуса и сферы
5 СПОСОБ СФЕРИЧЕСКИХ ПОСРЕДНИКОВ
Сферические посредники нашли широкое применение в решении задач на взаимное пересечение поверхностей. Обуславливается это тем, что:
а) проекции сферы строятся чрезвычайно просто;
б) на сфере может быть взято бесчисленное множество семейств окружностей;
в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью ее симметрии,
В основе метода сферических посредников лежит следующая теорема: "Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их главных меридианов". Пусть заданы две соосные поверхности вращенияФ и ψрис, 4), их главные меридианы а / и b / . Общие точки этих меридианов 2. и 1 образуют при вращении окружности, которые являются общими для данных поверхностей. Эти окружности проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси вращения, а на горизонтальную плоскостьв натуральную величину. Любое другое поясное сечение, например, плоскостью S, даст две окружности разных диаметров.
В способе сферических посредников в качестве одной из соосных поверхностей берутся сферы, а в качестве второйлюбая поверхность вращения, например, конус, цилиндр, шар, эллипсоид и гиперболоид вращения и др.
Рис. 4. Соосные поверхности
В этом случае указанная теорема получает следующую формулировку: "Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересекает данную поверхность по окружности" (рис.5).
Рис. 5. Сфера, соосная поверхностям вращения
Во всех случаях сфера пересекается с поверхностью вращения по окружностям равных или разных диаметров, которые проецируются в прямые линии, перпендикулярные к оси поверхности вращения. Способ сферических посредников имеет две разновидности:
а) способ концентрических сфер, когда сферыпосредники строятся из одного и того же центра;
б) способ эксцентрических сфер, когда посредники строятся из различных центров.
Для решения задач первым способом необходимы следующие условия:
l) обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения;
2) оси обеих поверхностей должны пересекаться между собой и лежать в общей плоскости симметрии.
Для решения задач вторым способом (эксцентрических сфер) условия несколько иные, а именно:
1) одна из пересекающихся поверхностей должна быть поверхностью вращения, а втораянести на себе семейство круговых сечений;
2) обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, на которую круговые сечения проецируются в виде прямых линий.
На рис.6 показано определение линии пересечения двух поверхностей вращения (конуса и цилиндра) способом концентрических сфер. План решения задачи следующий:
1) принимают точку пересечения осей поверхностей 0 (0 / , 0) за центр, проводят вспомогательные сферыпосредники;
2) определяют окружности пересечения сферпосредников с каждой из заданных поверхностей в отдельности;
3) находят точки пересечения полученных окружностей, эти точки принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.
Начинают
построение с определения опорных точек
точек пересечения
очерковых образующих 1 и 2. Далее определяют
значение радиуса
наибольшей и наименьшей сферыпосредника;
R
макс
равен расстоянию от центра 0 до
наиболее удаленней точки пересечения
очерковых образующих, Для определения
радиуса наименьшей сферыпосредника
R
мин.
из центра 0
/
опускают нормали 0
/ К
/
и 0 / Т
/
на очерковые образующие обеих
поверхностей. Величина большей
из нормалей и является радиусом наименьшей
сферыпосредника.
Эта наименьшая вспомогательная сфера
даёт еще одну опорную точкуточку 5, которая является точкой крайнегопрогиба, вершиной
кривой линии пересечения. Остальные
точки строятся с помощью промежуточных
сфер, радиус которых берется в пределах
R мин Рис. 6. Построение
линии пересечения с помощью концентрических
сфер Рис. 7. Построение
линии пересечения с помощью эксцентрических
сфер На рис.7 построена
линия пересечения конуса, ось которого
перпендикулярна горизонтальной
плоскости, и четверти тора, ось вращения
которого перпендикулярна фронтальной
плоскости проекций. Для решения
использовался способ эксцентрических
сферпосредников.
Решение задачи начинают с определения
точек пересечения очерковых образующих
обеих поверхностей. Точки 1,2,3.определяются
непосредственно с чертежа фронтальной
проекции, а точка 4 пересечения оснований
поверхностей найдена на горизонтальной
проекции. Для построения промежуточных
точек линии пересечения рассекают
торовую поверхность плоскостями,
проходящими через ось тора. В сечении
получают окружности. Например, плоскостьS 1 пересекает тор
по окружности диаметраа
/
b
/ .
Из
центра этой окружности точки
К / восстанавливают перпендикуляр до
пересечения с осью конуса в точке 0 / 1 .
Принимая эту точку за центр, строят
вспомогательную сферупосредник
радиусом 0 / 1
а
/
(0 / 1
b
/).
Эта сфера пересекает тор по известной
уже окружностиа
/
b
/ ,а конуспо окружности
8 / 9 / . Взаимное
их пересечение дает точку 5 линии
пересечения. Аналогично с помощью
плоскостейS 2 иS 3
найдены точки 6 и 7. Приложение ЛИТЕРАТУРА 1. Нартова Л.Г.
Начертательная геометрия: Учеб. М.: Академия, 2011. 2. Гордон В.О.
Начертательная геометрия. – М.: Высш.
шк., 2002. 3. Гордон В.О. Сборник
задач по курсу начертательной геометрии.
– М.: Высш. шк., 2003. 4. Дегтярев В.М.
Инженерная и компьютерная графика:
Учеб. М.: Академия,
2011. 5. Потёмкин А.
Инженерная графика. М.: Высш. шк., 2002. 2. Методика и порядок
выполнения задания. . . . . . . 1 3. Общие сведения.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2 4. Способ вспомогательных
плоскостей частного положения 3 5.
Способ сферических посредников.
. . . . . . . . . . 5 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . .
.. . . 10 Приложение. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 12 Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью
сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а
показано построение точки пересечения прямой EF
с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC
(перпендикулярной плоскости V)
На плоскость V
треугольник ABC
проецируется в отрезок а"с"
прямой линии, и точка к"
будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e"f
с а"с".
Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника АВС
определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC
и прямой EF
на плоскости V.
Направление взгляда на рис. 224, а
указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки к"
проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости Н
этот участок видимый. На рис. 224, б
прямая EF
пересекает горизонтальную плоскость Р.
Фронтальная проекция к"
точки К
- точки пересечения прямой EF
с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f
"со следом плоскости P v ,
так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k
точки К
находят с помощью линии проекционной связи. Построение линии пересечения двух плоскостей
сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а
фронтальная проекция т"п"
линии пересечения MN
совпадает со следом P v
фронтально-проецирующей плоскости Р,
а на рис. 225, б
горизонтальная проекция kl
совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R.
Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи. Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения
(рис. 226, а)
выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R,
которую проводят через данную прямую EF.
Строят линию пересечения 12
вспомогательной плоскости R
. с заданной плоскостью треугольника ABC,
получают в плоскости R
две прямые: EF
- заданная прямая и 12
- построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K
. Нахождение проекций точки К
показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следующей последовательности. Через прямую EF
проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R.
Ее след Rн
совпадает с горизонтальной проекцией ef
прямой EF.
Строят фронтальную проекцию 1׳2"
линии пересечения 12
плоскости R
с заданной плоскостью треугольника ABC
с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H
плоскости R.
Определяют фронтальную проекцию к"
искомой точки К,
которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1"2"
линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC
определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226, б)
сравним координаты Y
точек 3
и 4,
фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y
точки 3,
лежащей на прямой ВС,
меньше координаты Y
точки 4,
лежащей на прямой EF.
Следовательно, точка 4
находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V
видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳
прямая закрыта плоскостью треугольника ABC.
Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1
и 5.
Так как Z 1 >
Z 5 , точка 1
видимая. Следовательно, правее точки 1
(до точки К)
прямая EF
невидимая. Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана треугольником ABC,
другая - параллельными прямыми EF
и MN.
Заданные плоскости (рис. 227, а)
пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R
является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12
и 34,
которые в пересечении дают точку К
, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q
. Найденные две точки К
и L
определяют линию пересечения двух плоскостей. На рис. 227, б
вспомогательная плоскость R
задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2"
и 3"4"
плоскости R
с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R v
плоскости R,
так как плоскость R
перпендикулярна плоскости V,
и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след R v .
Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4"
до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4.
Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k,
которая является горизонтальной проекцией точки K
, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе R v .
